Kümeler

★Soru türü: 1 ▣

k bir doğal sayı olmak üzere
A = {a: a < 394, a = 5k}
B = {a: a < 399, a = 7k}

Buna göre A∩B kümesinin eleman sayısı kaçtır ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

Kesişim kümesini bulmak için iki kümenin ortak özelliklerini ortaya koymalıyız.
394, 399 sayısından küçük olduğu için 394 sayısını göz önünde bulundurmalıyız.
5 ile 7 sayılarının katlarından ortak olanları seçmeliyiz.
EKOK(5, 7) = 35

Küme elemanları 394 sayısından küçük ise en çok (394 - 1) = 393 sayısı kadar olabilirler.

393 =  35×11 + 8
Yani 393 içerisinde 11 tane 35 sayısının katı var.
Tabi bunlar pozitif sayılar. Sıfırı da eklersek 11 + 1 = 12 olur.

Cevap = 12

★Soru türü: 2 ▣

Almanca veya ingilizce ders alan 34 kişilik bir gurupta sadece ingilizce ders alanların sayısı 8, sadece almanca ders alanların sayısı 7 kadardır.

Buna göre hem ingilizce hem almanca ders alanların sayısı kaçtır ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

Gurubun tamamından sadece ingilizce ve sadece almanca ders alanları çıkarırsak hem ingilizce hem almanca ders alanlar kalır.

34 - 8 - 7 = 19

Cevap = 19

★Soru türü: 3 ▣

Bir sınıfta öğrenciler kimya ve tarih derslerinden sınava girmişlerdir. En az bir dersten başarılı olanların sayısı 62, en çok bir dersten başarılı olanların sayısı 67 kadardır.

Öğrencilerden kimya dersinden başarısız olanların sayısı 45 olduğuna göre tarih dersinden başarılı olanların sayısı kaçtır ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

Öğrencilerin durumunun 4 ihtimali var:
yalnız kimya dersinde başarılı olmak = a
yalnız tarih dersinde başarılı olmak = b
iki derste de başarılı olmak = c
iki derste de başarısız olmak = d

En az bir dersten başarılı olanların sayısı = a + b + c
En çok bir dersten başarılı olanların sayısı = a + b + d
kimya dersinden başarısız olanların sayısı = b + d
tarih dersinden başarılı olanların sayısı b + c

a + b + c = 62
a + b + d = 67
b + d = 45
b + c = ?

67 - 45 = a = 22

62 - a = b + c
62 - 22 = b + c = 40

Cevap = 40

★Soru türü: 4 ▣

99 kişilik bir gurupta sadece siyah ve turuncu renkte saçlılar vardır. Bunlardan siyah saçlı olanların sayısı 68 kadardır. Beylerden siyah saçlı olanların sayısı, hanımlardan turuncu saçlı olanların sayısının 4 katı ve hanımlardan siyah saçlı olanların sayısının 2 katından 32 fazladır.

Buna göre turuncu erkekler kaç kişidir ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

siyah saçlı bey = a
siyah saçlı hanım = b
turuncu saçlı bey = c
turuncu saçlı hanım = d

a + b + c + d = 99
a + b = 68
a = 4d = 2b + 32
c = ?

99 - 68 = c + d = 31

2b + 32 + b = 68
b = 12

2×12 + 32 = 4d
d = 14

c = 31 - 14 = 17

Cevap = 17

★Soru türü: 5 ▣

A ve B kümelerinin eleman sayılarıyla ilgili bilgiler aşağıda verilmiştir.

s(A) + s(B∩A) = 71
s((B∪A) \ (A∩B)) = 47
s((A\B) ∪ (A∩B) ∪ (B\A)) = 70

Buna göre s(B\A) kaçtır ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

Soruda bahsedilen kümeleri sıralayalım.
Yalnız A'da olanlar:
s(A\B) = a
Yalnız B'de olanlar:
s(B\A) = b
Hem A hem B'de olanlar:
(A ve B'de olanlar:)
s(A∩B) = c
A'da olanlar:
s(A) = a + c
B'de olanlar:
s(B) = b + c
A veya B'de olanlar:
s(A∪B) = a + b + c

(a+c) + (c) = 71
a + 2c = 71

(a + b + c) - (c) = 47
a + b = 47

a + c + b = 70

70 - 47 = c = 23

a + 2×23 = 71
a = 25

25 + b = 47
b = 22

Cevap = 22

★Soru türü: 6 ▣

7 elemanı olan bir kümenin elemanlarından biri 5 sayısıdır.

Buna göre bu kümenin alt kümelerinden kaçında 5 elemanı bulunur.

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

Bu kümede 5 elemanı yokmuş gibi alt küme sayısını buluruz. Bu alt kümelerin içine 5 eklenmiş gibi düşünürsek sonuç aynı olur.
Kümenin 7 elemanı var, 5 sayısını kümeden çıkarırsak kümenin yeni eleman sayısı 
(7 - 1) = 6 olur.

Bir kümenin alt küme sayısı 2'nin o kümenin eleman sayısı kadar kendiyle çarpımına eşittir.
Eğer kümenin eleman sayısı 3 ise alt küme sayısı 2³ = 2×2×2 = 8 olur.

2 üzeri 6 = 64

Cevap = 64

★Soru türü: 7 ▣

Aşağıda A ve B kümeleriyle ilgili bilgiler verilmiştir.

s(A) = 10
B = {5, 4}
B⊂A

Buna göre A kümesinin kaç alt kümesinde 5 bulunur fakat 4 bulunmaz.

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

4 bulunmasın isteniyor, bir eleman kesin çıkarıyoruz.
5 bulunsun isteniyor, bir eleman çıkarmış gibi hesaplıyoruz çünkü sonuç aynı oluyor. Bakınız bir önceki soru.
Toplamda iki eleman çıkarıp hesaplıyoruz.

10 - 2 = 8
2 üzeri 8 = 256

Cevap = 256

★Soru türü: 8 ▣

A ve B kümeleriyle ilgili bilgiler aşağıda veriliyor.

s(A) = 14
s(B) = 7
B⊂A

Buna göre B⊂K⊂A koşulunu sağlayacak kaç farklı K kümesi vardır ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

K kümesinde B kümesindeki elemanlar kesin olmalı.
K kümesinde A kümesindeki elemanlar olabilir de olmayabilir de.
İşte bu ihtimallerden dolayı çeşitlilik oluyor ve biz bu çeşitliliği hesaplamalıyız.
B kümesinden gelen elemanlar sabit olduğundan bir etkisi yok.
A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlar çeşitlilik yapıyor.

s(A) - s(B) = 8

Şimdi bir kümenin 8 tane elemanı varmış gibi düşünüp alt küme sayısını bulalım.
2 üzeri 8 = 256

Cevap = 256

★Soru türü: 9 ▣

A ve B kümeleriyle ilgili bilgiler aşağıda veriliyor.

s(A) = 7
s(B) = 6
B⊂A

Buna göre B⊄K⊂A koşulunu sağlayacak kaç farklı K kümesi vardır ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

Bu soruyu anlamak için öncelikle bir önceki soru gibi çözmeliyiz.
Yani soruyu 
Buna göre B⊂K⊂A koşulunu sağlayacak kaç farklı K kümesi vardır ?
gibi çözdükten sonra devam edelim.

7 - 6 = 3
2 üzeri 3 = 128

Şimdi B⊄K koşulunu halledelim, yani K ile B aynı olamasın. Bunun için K'nın alt kümelerinden bir tanesini çıkarmamız yeterli.

128 - 1 = 127

Cevap = 127