Kümeler

★Soru türü: 1 ▣

k bir doğal sayı olmak üzere
A = {a: a < 315, a = 4k}
B = {a: a < 318, a = 5k}

Buna göre A∩B kümesinin eleman sayısı kaçtır ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

Kesişim kümesini bulmak için iki kümenin ortak özelliklerini ortaya koymalıyız.
315, 318 sayısından küçük olduğu için 315 sayısını göz önünde bulundurmalıyız.
4 ile 5 sayılarının katlarından ortak olanları seçmeliyiz.
EKOK(4, 5) = 20

Küme elemanları 315 sayısından küçük ise en çok (315 - 1) = 314 sayısı kadar olabilirler.

314 =  20×15 + 14
Yani 314 içerisinde 15 tane 20 sayısının katı var.
Tabi bunlar pozitif sayılar. Sıfırı da eklersek 15 + 1 = 16 olur.

Cevap = 16

★Soru türü: 2 ▣

Almanca veya ingilizce ders alan 33 kişilik bir gurupta sadece ingilizce ders alanların sayısı 4, sadece almanca ders alanların sayısı 5 kadardır.

Buna göre hem ingilizce hem almanca ders alanların sayısı kaçtır ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

Gurubun tamamından sadece ingilizce ve sadece almanca ders alanları çıkarırsak hem ingilizce hem almanca ders alanlar kalır.

33 - 4 - 5 = 24

Cevap = 24

★Soru türü: 3 ▣

Bir sınıfta öğrenciler resim ve ingilizce derslerinden sınava girmişlerdir. En az bir dersten başarılı olanların sayısı 68, en çok bir dersten başarılı olanların sayısı 66 kadardır.

Öğrencilerden resim dersinden başarısız olanların sayısı 47 olduğuna göre ingilizce dersinden başarılı olanların sayısı kaçtır ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

Öğrencilerin durumunun 4 ihtimali var:
yalnız resim dersinde başarılı olmak = a
yalnız ingilizce dersinde başarılı olmak = b
iki derste de başarılı olmak = c
iki derste de başarısız olmak = d

En az bir dersten başarılı olanların sayısı = a + b + c
En çok bir dersten başarılı olanların sayısı = a + b + d
resim dersinden başarısız olanların sayısı = b + d
ingilizce dersinden başarılı olanların sayısı b + c

a + b + c = 68
a + b + d = 66
b + d = 47
b + c = ?

66 - 47 = a = 19

68 - a = b + c
68 - 19 = b + c = 49

Cevap = 49

★Soru türü: 4 ▣

371 kişilik bir gurupta sadece turuncu ve sarı renkte saçlılar vardır. Bunlardan turuncu saçlı olanların sayısı 292 kadardır. Beylerden turuncu saçlı olanların sayısı, hanımlardan sarı saçlı olanların sayısının 4 katı ve hanımlardan turuncu saçlı olanların sayısının 9 katından 12 fazladır.

Buna göre sarı erkekler kaç kişidir ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

turuncu saçlı bey = a
turuncu saçlı hanım = b
sarı saçlı bey = c
sarı saçlı hanım = d

a + b + c + d = 371
a + b = 292
a = 4d = 9b + 12
c = ?

371 - 292 = c + d = 79

9b + 12 + b = 292
b = 28

9×28 + 12 = 4d
d = 66

c = 79 - 66 = 13

Cevap = 13

★Soru türü: 5 ▣

A ve B kümelerinin eleman sayılarıyla ilgili bilgiler aşağıda verilmiştir.

s(A) + s(B∩A) = 63
s((B∪A) \ (A∩B)) = 47
s((A\B) ∪ (A∩B) ∪ (B\A)) = 67

Buna göre s(B\A) kaçtır ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

Soruda bahsedilen kümeleri sıralayalım.
Yalnız A'da olanlar:
s(A\B) = a
Yalnız B'de olanlar:
s(B\A) = b
Hem A hem B'de olanlar:
(A ve B'de olanlar:)
s(A∩B) = c
A'da olanlar:
s(A) = a + c
B'de olanlar:
s(B) = b + c
A veya B'de olanlar:
s(A∪B) = a + b + c

(a+c) + (c) = 63
a + 2c = 63

(a + b + c) - (c) = 47
a + b = 47

a + c + b = 67

67 - 47 = c = 20

a + 2×20 = 63
a = 23

23 + b = 47
b = 24

Cevap = 24

★Soru türü: 6 ▣

3 elemanı olan bir kümenin elemanlarından biri 4 sayısıdır.

Buna göre bu kümenin alt kümelerinden kaçında 4 elemanı bulunur.

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

Bu kümede 4 elemanı yokmuş gibi alt küme sayısını buluruz. Bu alt kümelerin içine 4 eklenmiş gibi düşünürsek sonuç aynı olur.
Kümenin 3 elemanı var, 4 sayısını kümeden çıkarırsak kümenin yeni eleman sayısı 
(3 - 1) = 2 olur.

Bir kümenin alt küme sayısı 2'nin o kümenin eleman sayısı kadar kendiyle çarpımına eşittir.
Eğer kümenin eleman sayısı 3 ise alt küme sayısı 2³ = 2×2×2 = 8 olur.

2 üzeri 2 = 4

Cevap = 4

★Soru türü: 7 ▣

Aşağıda A ve B kümeleriyle ilgili bilgiler verilmiştir.

s(A) = 8
B = {3, 4}
B⊂A

Buna göre A kümesinin kaç alt kümesinde 3 bulunur fakat 4 bulunmaz.

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

4 bulunmasın isteniyor, bir eleman kesin çıkarıyoruz.
3 bulunsun isteniyor, bir eleman çıkarmış gibi hesaplıyoruz çünkü sonuç aynı oluyor. Bakınız bir önceki soru.
Toplamda iki eleman çıkarıp hesaplıyoruz.

8 - 2 = 6
2 üzeri 6 = 64

Cevap = 64

★Soru türü: 8 ▣

A ve B kümeleriyle ilgili bilgiler aşağıda veriliyor.

s(A) = 9
s(B) = 6
B⊂A

Buna göre B⊂K⊂A koşulunu sağlayacak kaç farklı K kümesi vardır ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

K kümesinde B kümesindeki elemanlar kesin olmalı.
K kümesinde A kümesindeki elemanlar olabilir de olmayabilir de.
İşte bu ihtimallerden dolayı çeşitlilik oluyor ve biz bu çeşitliliği hesaplamalıyız.
B kümesinden gelen elemanlar sabit olduğundan bir etkisi yok.
A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlar çeşitlilik yapıyor.

s(A) - s(B) = 5

Şimdi bir kümenin 5 tane elemanı varmış gibi düşünüp alt küme sayısını bulalım.
2 üzeri 5 = 32

Cevap = 32

★Soru türü: 9 ▣

A ve B kümeleriyle ilgili bilgiler aşağıda veriliyor.

s(A) = 9
s(B) = 4
B⊂A

Buna göre B⊄K⊂A koşulunu sağlayacak kaç farklı K kümesi vardır ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

Bu soruyu anlamak için öncelikle bir önceki soru gibi çözmeliyiz.
Yani soruyu 
Buna göre B⊂K⊂A koşulunu sağlayacak kaç farklı K kümesi vardır ?
gibi çözdükten sonra devam edelim.

9 - 4 = 6
2 üzeri 6 = 512

Şimdi B⊄K koşulunu halledelim, yani K ile B aynı olamasın. Bunun için K'nın alt kümelerinden bir tanesini çıkarmamız yeterli.

512 - 1 = 511

Cevap = 511