Kümeler

★Soru türü: 1 ▣

k bir doğal sayı olmak üzere
A = {a: a < 639, a = 8k}
B = {a: a < 646, a = 9k}

Buna göre A∩B kümesinin eleman sayısı kaçtır ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

Kesişim kümesini bulmak için iki kümenin ortak özelliklerini ortaya koymalıyız.
639, 646 sayısından küçük olduğu için 639 sayısını göz önünde bulundurmalıyız.
8 ile 9 sayılarının katlarından ortak olanları seçmeliyiz.
EKOK(8, 9) = 72

Küme elemanları 639 sayısından küçük ise en çok (639 - 1) = 638 sayısı kadar olabilirler.

638 =  72×8 + 62
Yani 638 içerisinde 8 tane 72 sayısının katı var.
Tabi bunlar pozitif sayılar. Sıfırı da eklersek 8 + 1 = 9 olur.

Cevap = 9

★Soru türü: 2 ▣

Almanca veya ingilizce ders alan 33 kişilik bir gurupta sadece ingilizce ders alanların sayısı 4, sadece almanca ders alanların sayısı 8 kadardır.

Buna göre hem ingilizce hem almanca ders alanların sayısı kaçtır ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

Gurubun tamamından sadece ingilizce ve sadece almanca ders alanları çıkarırsak hem ingilizce hem almanca ders alanlar kalır.

33 - 4 - 8 = 21

Cevap = 21

★Soru türü: 3 ▣

Bir sınıfta öğrenciler kimya ve ingilizce derslerinden sınava girmişlerdir. En az bir dersten başarılı olanların sayısı 63, en çok bir dersten başarılı olanların sayısı 68 kadardır.

Öğrencilerden kimya dersinden başarısız olanların sayısı 49 olduğuna göre ingilizce dersinden başarılı olanların sayısı kaçtır ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

Öğrencilerin durumunun 4 ihtimali var:
yalnız kimya dersinde başarılı olmak = a
yalnız ingilizce dersinde başarılı olmak = b
iki derste de başarılı olmak = c
iki derste de başarısız olmak = d

En az bir dersten başarılı olanların sayısı = a + b + c
En çok bir dersten başarılı olanların sayısı = a + b + d
kimya dersinden başarısız olanların sayısı = b + d
ingilizce dersinden başarılı olanların sayısı b + c

a + b + c = 63
a + b + d = 68
b + d = 49
b + c = ?

68 - 49 = a = 19

63 - a = b + c
63 - 19 = b + c = 44

Cevap = 44

★Soru türü: 4 ▣

147 kişilik bir gurupta sadece mor ve bordo renkte saçlılar vardır. Bunlardan mor saçlı olanların sayısı 108 kadardır. Beylerden mor saçlı olanların sayısı, hanımlardan bordo saçlı olanların sayısının 4 katı ve hanımlardan mor saçlı olanların sayısının 2 katından 12 fazladır.

Buna göre bordo erkekler kaç kişidir ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

mor saçlı bey = a
mor saçlı hanım = b
bordo saçlı bey = c
bordo saçlı hanım = d

a + b + c + d = 147
a + b = 108
a = 4d = 2b + 12
c = ?

147 - 108 = c + d = 39

2b + 12 + b = 108
b = 32

2×32 + 12 = 4d
d = 19

c = 39 - 19 = 20

Cevap = 20

★Soru türü: 5 ▣

A ve B kümelerinin eleman sayılarıyla ilgili bilgiler aşağıda verilmiştir.

s(A) + s(B∩A) = 66
s((B∪A) \ (A∩B)) = 42
s((A\B) ∪ (A∩B) ∪ (B\A)) = 63

Buna göre s(B\A) kaçtır ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

Soruda bahsedilen kümeleri sıralayalım.
Yalnız A'da olanlar:
s(A\B) = a
Yalnız B'de olanlar:
s(B\A) = b
Hem A hem B'de olanlar:
(A ve B'de olanlar:)
s(A∩B) = c
A'da olanlar:
s(A) = a + c
B'de olanlar:
s(B) = b + c
A veya B'de olanlar:
s(A∪B) = a + b + c

(a+c) + (c) = 66
a + 2c = 66

(a + b + c) - (c) = 42
a + b = 42

a + c + b = 63

63 - 42 = c = 21

a + 2×21 = 66
a = 24

24 + b = 42
b = 18

Cevap = 18

★Soru türü: 6 ▣

5 elemanı olan bir kümenin elemanlarından biri 8 sayısıdır.

Buna göre bu kümenin alt kümelerinden kaçında 8 elemanı bulunur.

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

Bu kümede 8 elemanı yokmuş gibi alt küme sayısını buluruz. Bu alt kümelerin içine 8 eklenmiş gibi düşünürsek sonuç aynı olur.
Kümenin 5 elemanı var, 8 sayısını kümeden çıkarırsak kümenin yeni eleman sayısı 
(5 - 1) = 4 olur.

Bir kümenin alt küme sayısı 2'nin o kümenin eleman sayısı kadar kendiyle çarpımına eşittir.
Eğer kümenin eleman sayısı 3 ise alt küme sayısı 2³ = 2×2×2 = 8 olur.

2 üzeri 4 = 16

Cevap = 16

★Soru türü: 7 ▣

Aşağıda A ve B kümeleriyle ilgili bilgiler verilmiştir.

s(A) = 6
B = {3, 2}
B⊂A

Buna göre A kümesinin kaç alt kümesinde 3 bulunur fakat 2 bulunmaz.

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

2 bulunmasın isteniyor, bir eleman kesin çıkarıyoruz.
3 bulunsun isteniyor, bir eleman çıkarmış gibi hesaplıyoruz çünkü sonuç aynı oluyor. Bakınız bir önceki soru.
Toplamda iki eleman çıkarıp hesaplıyoruz.

6 - 2 = 4
2 üzeri 4 = 16

Cevap = 16

★Soru türü: 8 ▣

A ve B kümeleriyle ilgili bilgiler aşağıda veriliyor.

s(A) = 9
s(B) = 8
B⊂A

Buna göre B⊂K⊂A koşulunu sağlayacak kaç farklı K kümesi vardır ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

K kümesinde B kümesindeki elemanlar kesin olmalı.
K kümesinde A kümesindeki elemanlar olabilir de olmayabilir de.
İşte bu ihtimallerden dolayı çeşitlilik oluyor ve biz bu çeşitliliği hesaplamalıyız.
B kümesinden gelen elemanlar sabit olduğundan bir etkisi yok.
A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlar çeşitlilik yapıyor.

s(A) - s(B) = 2

Şimdi bir kümenin 2 tane elemanı varmış gibi düşünüp alt küme sayısını bulalım.
2 üzeri 2 = 4

Cevap = 4

★Soru türü: 9 ▣

A ve B kümeleriyle ilgili bilgiler aşağıda veriliyor.

s(A) = 6
s(B) = 5
B⊂A

Buna göre B⊄K⊂A koşulunu sağlayacak kaç farklı K kümesi vardır ?

❁ Soru cevabı =⊳ ▣

Bu soruyu anlamak için öncelikle bir önceki soru gibi çözmeliyiz.
Yani soruyu 
Buna göre B⊂K⊂A koşulunu sağlayacak kaç farklı K kümesi vardır ?
gibi çözdükten sonra devam edelim.

6 - 5 = 3
2 üzeri 3 = 64

Şimdi B⊄K koşulunu halledelim, yani K ile B aynı olamasın. Bunun için K'nın alt kümelerinden bir tanesini çıkarmamız yeterli.

64 - 1 = 63

Cevap = 63